... и пусть, интересующийся Булевой Алгеброй, НАРОД
всегда помнит интересующий его адрес booleanalgebra.narod ...
... и пусть следит за обновлениями этого сайта ...

      Здесь я расскажу о базисе Шеффера. Нам уже известно, что такое функция Шеффера (она же — Штрих Шеффера). Это всего лишь на всего отрицание Конъюнкции.
      Эту функцию двух аргументов можно обобщить на произвольное другое количество аргументов. Делается это следующим образом:
      Рассмотрим случай, когда количество аргументов не равно единице:
      Берётся произвольное количество аргументов: x₁ , x₂ , ..., x_n и находится их конъюнкция. После чего берётся отрицание этой конъюнкции, и функции Шеффера от этих всех аргументов присваивается значение отрицания этой самой конъюнкции.
      Рассмотрим случай, когда количество аргументов равно единице:
      В этом случае мы поступаем ещё проще: значению функции Шеффера от этого единственного аргумента присваивается просто отрицание самого этого аргумента.
      Вот и всё!!!
      Но, оказывается, полученная таким образом серия функций Шеффера (обратите внимание: здесь имеет место целая серия функций, а не одна только одиночная функция, хотя эту серию функций мы и называем функцией Шеффера, но надо иметь в виду, что функция Шеффера от, скажем, семи аргументов, это не то же самое, что функция Шеффера от, скажем, четырёх аргументов!!! Конечно, с точки зрения ПРОГРАММИСТА — это всё одно и тоже, а вот с точки зрения МАТЕМАТИКА здесь имеет место не одна функция, а целая серия функций!!!) образует базис на множестве всех переключательных функций.

Доказательство

      Воспользуемся уже ранее доказанной теоремой об универсальном логическом базисе. По этой теореме, множество функций КОНЪЮНКЦИЯ, ДИЗЪЮНККЦИЯ, ИНВЕРСИЯ образуют базис на множестве всех переключательных функций.
      Значит, для того, чтобы доказать, что функция Шеффера образует базис на множестве всех переключательных функций, мы должны для любого выражения в универсальном логическом базисе написать, как это выражение можно представить в виде суперпозиции (композиции) той самой серии функций, которая вся вместе именуется функцией Шеффера.
      Делается это очень просто:

      Таким образом, любое выражение в универсальном логическом базисе может быть представлено в виде суперпозиции (композиции) той самой серии функций, которая вся вместе именуется функцией Шеффера. Значит семейство функций, именуемое функцией Шеффера, образует логический базис (или базис на множестве всех переключательных функций), что и требовалось доказать.